Тележка скатывается по гладким рельсам, образующим вертикальную петлю
радиуса \(R\). С какой минимальной высоты от нижней точки петли должна
скатиться тележка для того, чтобы не покинуть рельсы по всей их длине?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Самое опасное место петли — верхняя точка. Там рельсы могут только давить
вниз, к центру; значит, минимум — когда одной тяжести хватает как
центростремительной силы.
Просто «доехать доверху» мало: наверху нужна ещё и
скорость v² = gR.
Верхняя точка. Там и тяжесть, и реакция рельсов направлены вниз,
к центру:
\[ mg + N = \frac{mv_{\text{в}}^2}{R}. \]
Тележка держится на рельсах, пока \(N \ge 0\), то есть пока
\(v_{\text{в}}^2 \ge gR\). Минимум:
Проверка. «Запас» над высотой петли составляет ровно
\(R/2\) ✓. Скорость внизу: \(v^2 = 2gh = 5gR\), и давление на рельсы там
\(N = mg + mv^2/R = 6mg\) — ровно как у нити в задаче 2.3.24 ✓
(рельсы, как и нить, способны только удерживать снаружи).