По вертикально стоящей гладкой и твёрдой спирали скользит бусинка массы \(m\). Радиус петли спирали равен \(R\), шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — \(h\). С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние \(H\)? Начальная скорость бусинки равна нулю.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Геометрия витка. За один оборот бусинка проходит по горизонтали \(2\pi R\) и опускается на \(h\), значит длина витка
\[ s = \sqrt{4\pi^2R^2 + h^2},\qquad \sin\beta = \frac{h}{s},\qquad \cos\beta = \frac{2\pi R}{s}. \]2. Скорость. Проволока гладкая, поэтому работает только тяжесть:
\[ v^2 = 2gH. \]3. Ускорение — три перпендикулярных направления. Вдоль проволоки всё как на наклонной плоскости, а горизонтальная проекция движения — окружность радиуса \(R\), которую бусинка обегает с горизонтальной скоростью \(v\cos\beta\):
\[ a_\tau = g\sin\beta \ \ (\text{вдоль проволоки}),\qquad a_R = \frac{(v\cos\beta)^2}{R} \ \ (\text{к оси}). \]4. Реакция проволоки. Тяжесть вертикальна, поэтому «к оси» и «поперёк» всё держит проволока. Раскладывая \(m\vec a = m\vec g + \vec N\) по трём взаимно перпендикулярным направлениям, получаем
\[ N_{\text{к оси}} = \frac{mv^2\cos^2\beta}{R},\qquad N_{\text{гор. касат.}} = mg\sin\beta\cos\beta,\qquad N_{\text{верт.}} = mg\cos^2\beta. \](Последнее — это \(mg - ma_\tau\sin\beta = mg(1-\sin^2\beta)\).) По теореме Пифагора
\[ N = m\cos\beta\,\sqrt{\,g^2 + \frac{v^4\cos^2\beta}{R^2}\,}. \]5. Подставляем. С \(v^2 = 2gH\) и \(\cos\beta = 2\pi R/s\):
\[ \frac{v^4\cos^2\beta}{R^2} = \frac{16\pi^2g^2H^2}{s^2},\qquad N = m\,\frac{2\pi R}{s}\cdot\frac{g}{s}\sqrt{s^2 + 16\pi^2H^2}. \] \[ \boxed{\,N = \frac{2\pi R\,mg}{4\pi^2R^2 + h^2}\, \sqrt{4\pi^2R^2 + h^2 + 16\pi^2H^2}\,} \]С такой же силой, по третьему закону Ньютона, бусинка давит на спираль.