Бусинка массы \(m\) скользит по вертикально расположенному волнообразному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в \(k\) раз больше его протяжённости. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволоки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол наклона. На любом кусочке проволоки вертикальный спуск относится к пройденному пути как \(1 : k\), а это и есть косинус угла между проволокой и вертикалью:
\[ \cos\theta = \frac1k. \]Движение по «наклонной плоскости». Проволока гладкая, поэтому вдоль неё разгоняет только составляющая тяжести:
\[ a = g\cos\theta = \frac{g}{k}. \]Вертикальная составляющая этого ускорения
\[ a_{\text{верт}} = a\cos\theta = g\cos^2\theta = \frac{g}{k^2}. \]На поворотах волны вертикальная составляющая скорости не меняет ни знака, ни величины (меняется только горизонтальная), поэтому в среднем всё так и остаётся.
Второй закон по вертикали. Пусть \(N_{\text{верт}}\) — вертикальная (направленная вверх) составляющая реакции проволоки:
\[ mg - N_{\text{верт}} = m\,a_{\text{верт}} = \frac{mg}{k^2} \quad\Longrightarrow\quad N_{\text{верт}} = mg\Bigl(1 - \frac{1}{k^2}\Bigr). \]Горизонтальная составляющая на соседних «зубцах» меняет знак и в среднем даёт нуль. По третьему закону Ньютона бусинка давит на проволоку вниз с такой же средней силой.