Савченко, задача 2.3.30

Решение

1. Траектория центра масс. Верхний шарик скользит по стенке, нижний — по полу, так что их координаты \((0,\,l\sin\alpha)\) и \((l\cos\alpha,\,0)\). Середина гантели — центр масс — находится в точке

\[ \Bigl(\frac{l}{2}\cos\alpha,\ \frac{l}{2}\sin\alpha\Bigr), \]

то есть на расстоянии \(l/2\) от угла при любом \(\alpha\). Центр масс движется по окружности радиуса \(l/2\) с центром в углу.

2. Энергия. Вначале (\(\alpha = 90^\circ\)) центр масс был на высоте \(l/2\), сейчас — на высоте \(\tfrac{l}{2}\sin\alpha\). Кинетическая энергия гантели равна \(2mv_{\text{ц}}^2\) (проверьте: скорости шариков равны \(l\omega\sin\alpha\) и \(l\omega\cos\alpha\), а \(v_{\text{ц}} = \tfrac{l}{2}\omega\)):

\[ 2mv_{\text{ц}}^2 = 2mg\cdot\frac{l}{2}(1-\sin\alpha) \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{ц}}^2 = \frac{gl}{2}(1-\sin\alpha). \]

3. Тангенциальное ускорение. Для движения по любой траектории работает школьная формула \(a_\tau = \Delta(v^2)/(2\Delta s)\). Дуга связана с углом как \(\Delta s = \tfrac{l}{2}\Delta\alpha\), а \(\Delta(v_{\text{ц}}^2) = -\tfrac{gl}{2}\cos\alpha\,\Delta\alpha\), поэтому

\[ a_\tau = \frac{g}{2}\cos\alpha. \]

4. Складываем ускорение центра масс. Нормальное направлено к углу, тангенциальное — вдоль дуги:

\[ a_n = \frac{v_{\text{ц}}^2}{l/2} = g(1-\sin\alpha). \]

Горизонтальная проекция полного ускорения (ось \(x\) — от стенки):

\[ a_x = -a_n\cos\alpha + a_\tau\sin\alpha = -g\cos\alpha(1-\sin\alpha) + \frac{g}{2}\sin\alpha\cos\alpha. \]

5. Второй закон. По горизонтали на гантель действует только реакция стенки \(N\):

\[ N = 2m\,a_x = mg\cos\alpha\bigl(-2 + 2\sin\alpha + \sin\alpha\bigr) = mg\cos\alpha\,(3\sin\alpha - 2). \]

Как только \(\sin\alpha\) становится меньше \(2/3\), формула дала бы \(N < 0\) — стенка не умеет притягивать, и шарик от неё отходит.