Гантель длины \(l\) с шариками одинаковой массы на концах установлена вертикально на гладкой горизонтальной плоскости. Затем гантель отпускают. Определите скорость верхнего шарика перед ударом о плоскость.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Центр масс падает отвесно. Горизонтальных внешних сил нет (пол гладкий), а вначале система покоилась — значит, горизонтальная координата центра масс не меняется.
2. Что происходит в последний момент. Гантель легла, ось горизонтальна. Нижний шарик всё время был на полу, поэтому его скорость горизонтальна. Стержень жёсткий, значит, проекции скоростей шариков на ось гантели равны; ось горизонтальна, стало быть горизонтальные скорости шариков одинаковы. Но их сумма равна нулю (центр масс не смещается по горизонтали). Значит, обе горизонтальные скорости — нули: нижний шарик покоится, а верхний движется строго вниз.
3. Энергия. Верхний шарик опустился с высоты \(l\) до нуля, нижний остался на месте, то есть центр масс опустился на \(l/2\), а вся кинетическая энергия — у верхнего шарика:
\[ \frac{mv^2}{2} = 2mg\cdot\frac{l}{2} = mgl \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2gl}. \]