Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по
вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна \(v\), масса
саней \(m\), коэффициент трения \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила прижатия по кругу «гуляет»: внизу больше, наверху меньше. Но добавка от
тяжести — это косинус, а его среднее за полный оборот равно нулю. Остаётся
только центростремительная часть.
Прижатие колеблется по косинусу вокруг среднего значения
mv²/R.
Сила прижатия. Пусть \(\theta\) — угол, отсчитанный от нижней точки.
Скорость постоянна, значит, вдоль радиуса
\[ N - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}
\quad\Longrightarrow\quad
N = \frac{mv^2}{R} + mg\cos\theta. \]
Среднее за оборот. Скорость постоянна, поэтому среднее по пути — это
просто среднее по углу, а среднее косинуса за полный оборот равно нулю:
\[ \langle N\rangle = \frac{mv^2}{R}. \]
Работа трения на пути \(2\pi R\):
\[ |A| = \mu\langle N\rangle\cdot 2\pi R
= \mu\cdot\frac{mv^2}{R}\cdot 2\pi R = 2\pi\mu m v^2. \]
Проверка. В ответ не вошли ни \(R\), ни \(g\) ✓ —
тяжесть ровно столько же «помогает» на одной половине круга, сколько «мешает»
на другой. Размерность \(mv^2\) — энергия ✓. Формула верна, пока сани нигде
не отрываются от дорожки, то есть при \(v^2 \ge gR\).
Ответ
\( |A| = 2\pi\mu m v^2 \) (работа трения отрицательна: \(A = -2\pi\mu m v^2\)).