Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

Савченко, задача 2.3.33

Задача 2.3.33★ энергия на изломе

Условие

Тело скользит по плоской поверхности, плавно переходящей в другую плоскую поверхность, расположенную под углом \(\alpha\) к первой. Коэффициент трения \(\mu\). Определите кинетическую энергию в конце участка сопряжения поверхностей, если в начале она равна \(K_0\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея На коротком закруглении прижатие определяется не тяжестью, а поворотом: \(N = mv^2/R\). Тогда потеря энергии на маленьком кусочке пропорциональна самой энергии — и получается «сложный процент», то есть экспонента.

Поворот на угол α «съедает» энергию в одно и то же число раз независимо от радиуса.

Прижатие на дуге. Участок сопряжения короткий, но крутой: там \(v^2/R\) во много раз больше \(g\), и вклад тяжести можно не учитывать. Тогда

\[ N = \frac{mv^2}{R} = \frac{2K}{R}. \]

Потеря на маленьком кусочке. Пройдя дугу \(\Delta s = R\,\Delta\theta\), тело теряет

\[ \Delta K = -\mu N\,\Delta s = -\mu\cdot\frac{2K}{R}\cdot R\,\Delta\theta = -2\mu K\,\Delta\theta. \]

Замечательно: радиус выпал. Потеря пропорциональна самой энергии — это в точности «сложный процент».

Складываем повороты. Разобьём угол \(\alpha\) на \(n\) одинаковых кусочков \(\Delta\theta = \alpha/n\). После каждого энергия умножается на \(\bigl(1 - 2\mu\alpha/n\bigr)\), значит

\[ K = K_0\Bigl(1 - \frac{2\mu\alpha}{n}\Bigr)^{n} \ \xrightarrow[\ n\to\infty\ ]{}\ K_0\,e^{-2\mu\alpha}. \]

Проверка. При \(\mu = 0\) энергия не меняется ✓. При \(\alpha = 0\) (изгиба нет) тоже \(K = K_0\) ✓. Ответ не зависит от радиуса закругления — резкий поворот стоит ровно столько же, сколько плавный ✓. Та же формула, что и «формула Эйлера» для верёвки, наброшенной на столб: \(T = T_0e^{\mu\alpha}\); здесь показатель вдвое больше, потому что энергия квадратична по импульсу.

Ответ \( K = K_0\,e^{-2\mu\alpha} \).

Следующая задача 2.3.34 →