Зависимость длины пробега ядер изотопов водорода в фотоэмульсии от начальной кинетической энергии приведена в таблице. Постройте по этим данным график зависимости тормозящей ядро силы от квадрата скорости и подтвердите или опровергните предположение, что эта сила не зависит от массы ядер. С хорошей точностью масса дейтрона \(m_d = 2m_p\), масса тритона \(m_t = 3m_p\), где \(m_p\) — масса протона.
| Пробег, мкм | Энергия, МэВ | Пробег, мкм | Энергия, МэВ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| протон | дейтрон | тритон | протон | дейтрон | тритон | ||
| 5 | 0,47 | 0,58 | 0,63 | 30 | 1,66 | 2,10 | 2,40 |
| 10 | 0,78 | 0,98 | 1,10 | 40 | 2,00 | 2,55 | 2,89 |
| 20 | 1,26 | 1,60 | 1,82 | 50 | 2,32 | 2,97 | 3,37 |
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Как считать. Для каждой пары соседних строк
\[ F = \frac{E_2 - E_1}{l_2 - l_1},\qquad v^2 = \frac{2E}{m},\quad E = \frac{E_1+E_2}{2}. \]Энергию удобно мерить в МэВ, массу — в массах протона; тогда \(v^2\) получается в «МэВ на протонную массу», а сила — в МэВ/мкм. Абсолютные единицы для проверки гипотезы не нужны.
Что видно на графике. Точки протонов, дейтронов и тритонов перемешаны и укладываются на одну плавную кривую. Значит, предположение подтверждается: тормозящая сила определяется скоростью ядра, а не его массой. Более того, кривая хорошо описывается законом
\[ F \approx \frac{\text{const}}{v},\qquad \text{т. е.}\quad F\sqrt{v^2} \approx 0{,}068\ \text{(в наших единицах)}. \]Независимая проверка — без всяких графиков. Если сила зависит только от скорости, то у частиц с одинаковой начальной скоростью пробег пропорционален массе (тяжёлая частица при той же скорости несёт в \(m\) раз больше энергии, а теряет её на каждом миллиметре одинаково). Проверим:
протон с \(E = 0{,}78\) МэВ пролетает 10 мкм; та же скорость у дейтрона при \(E = 1{,}56\) МэВ и у тритона при \(E = 2{,}34\) МэВ. По таблице это 19,4 мкм и 29,0 мкм — против предсказанных 20 и 30 мкм. Ещё пара: протон 20 мкм (\(1{,}26\)) → дейтрон \(2{,}52\) МэВ даёт 39,3 мкм вместо 40 ✓.