Частица массы \(m\) влетает в область, где на неё действует тормозящая сила, зависящая только от расстояния между частицей и границей области. Найдите эту зависимость, если глубина проникновения частицы в область торможения пропорциональна её начальному импульсу: \(l = \alpha p\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Попробуем пружину. Пусть \(F = \varkappa x\). Тогда работа против силы до глубины \(l\) — площадь треугольника \(\varkappa l^2/2\), и остановка наступает при
\[ \frac{\varkappa l^2}{2} = \frac{p^2}{2m} \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{p}{\sqrt{\varkappa m}}. \]Это и есть требуемая пропорциональность \(l = \alpha p\), если
\[ \alpha = \frac{1}{\sqrt{\varkappa m}} \quad\Longrightarrow\quad \varkappa = \frac{1}{m\alpha^2}. \]Почему других вариантов нет. Условие \(l = \alpha p\) выполняется при любом начальном импульсе, то есть площадь под графиком до произвольной глубины \(l\) задана однозначно:
\[ S(l) = \frac{p^2}{2m} = \frac{l^2}{2m\alpha^2}. \]А сила — это скорость роста площади: увеличив глубину на маленькое \(\Delta l\), площадь прирастает на \(F(l)\,\Delta l\). Из \(S = l^2/(2m\alpha^2)\) получаем \(F(l) = l/(m\alpha^2)\) — тот же ответ, и единственный.