Длина пробега частицы массы \(m\) пропорциональна её начальному импульсу, если тормозящая частицу сила пропорциональна её скорости. Убедитесь в этом и при заданном \(\alpha\) (\(l = \alpha p\)) найдите работу тормозящей силы на пути \(x\) для частицы, масса которой \(m\), а начальный импульс \(p\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Импульс убывает пропорционально пути. За малое время \(\Delta t\) частица проходит \(\Delta x = v\,\Delta t\), а импульс силы равен
\[ -\varkappa v\,\Delta t = -\varkappa\,\Delta x. \]Складывая такие кусочки, получаем на пути \(x\)
\[ p(x) = p - \varkappa x. \]2. Пробег. Частица останавливается, когда импульс исчерпан:
\[ l = \frac{p}{\varkappa} \]— и правда пропорционален начальному импульсу. Сравнивая с \(l = \alpha p\), находим \(\varkappa = 1/\alpha\), то есть
\[ p(x) = p - \frac{x}{\alpha}. \]3. Работа. Работа тормозящей силы равна изменению кинетической энергии, а её удобно выразить через импульс, \(K = p^2/2m\):
\[ A = \frac{p(x)^2}{2m} - \frac{p^2}{2m} = \frac{1}{2m}\left[\Bigl(p - \frac{x}{\alpha}\Bigr)^2 - p^2\right] = \frac{x^2}{2m\alpha^2} - \frac{px}{\alpha m}. \]