Зависимость силы, действующей на движущуюся прямолинейно частицу, от координаты последней приведена на графике: сила возвращает частицу к началу координат, растёт линейно до значения \(F_0\) при \(|x| = x_0\), а дальше остаётся постоянной. Найдите зависимость потенциальной энергии частицы от координаты. Какова область движения частицы, если наибольшая кинетическая энергия этой частицы равна \(K\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внутри отрезка \(|x| \le x_0\) сила устроена как пружинная, \(F = -F_0x/x_0\). Площадь под ней (треугольник) даёт
\[ U = \frac{1}{2}\cdot\frac{F_0}{x_0}\,x^2 = \frac{F_0x^2}{2x_0}, \qquad U(x_0) = \frac{F_0x_0}{2}. \]Дальше сила постоянна, \(|F| = F_0\), и энергия растёт линейно:
\[ U = \frac{F_0x_0}{2} + F_0\bigl(|x| - x_0\bigr) = F_0\Bigl(|x| - \frac{x_0}{2}\Bigr),\qquad |x| > x_0. \]Область движения. Наибольшая кинетическая энергия достигается в точке \(x = 0\), где \(U = 0\); значит, полная энергия равна \(K\), и частица доходит туда, где \(U(x) = K\).
• Если \(K \le \dfrac{F_0x_0}{2}\), поворот происходит ещё на параболе:
\[ \frac{F_0x^2}{2x_0} = K \quad\Longrightarrow\quad |x| \le \sqrt{\frac{2Kx_0}{F_0}}. \]• Если \(K > \dfrac{F_0x_0}{2}\), поворот уже на прямом участке:
\[ F_0\Bigl(|x| - \frac{x_0}{2}\Bigr) = K \quad\Longrightarrow\quad |x| \le \frac{K}{F_0} + \frac{x_0}{2}. \]Область движения: \(|x| \le \sqrt{2Kx_0/F_0}\) при \(K \le F_0x_0/2\) и \(|x| \le K/F_0 + x_0/2\) при \(K > F_0x_0/2\).