Задача 2.3.38закон Кулона из энергии
Условие
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия точечных зарядов \(q\) и \(Q\), находящихся на расстоянии \(r\) друг от друга, \(U = kqQ/r\). Найдите электростатическую силу. Для каких зарядов имеет место отталкивание, а для каких притяжение?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Работа силы на маленьком перемещении равна убыли потенциальной энергии. Значит,
сила — это «скорость убывания» \(U\): чуть-чуть раздвинем заряды и посмотрим,
насколько изменилась энергия.
Раздвинем на \(\Delta r\). Энергия изменится на
\[ \Delta U = \frac{kqQ}{r+\Delta r} - \frac{kqQ}{r} = kqQ\,\frac{r - (r+\Delta r)}{r(r+\Delta r)} \approx -\frac{kqQ}{r^2}\,\Delta r. \]Работа равна убыли энергии: \(F_r\,\Delta r = -\Delta U\), откуда
\[ F_r = \frac{kqQ}{r^2}. \]Здесь \(F_r\) — проекция силы на направление «от одного заряда к другому», то есть на направление роста \(r\).
Знак. Если \(qQ > 0\) (заряды одноимённые), то \(F_r > 0\): сила стремится увеличить расстояние — отталкивание. Если \(qQ < 0\), то \(F_r < 0\) — притяжение.
Проверка. Получился в точности закон Кулона ✓.
Логика сходится и «энергетически»: у одноимённых зарядов \(U = kqQ/r\)
убывает с ростом \(r\), значит, им выгодно разбегаться ✓; у разноимённых
\(U\) отрицательна и убывает при сближении — значит, они сходятся ✓.
Ответ
\( F = \dfrac{kqQ}{r^2} \); при \(qQ > 0\) — отталкивание,
при \(qQ < 0\) — притяжение.