Потенциальная энергия взаимодействия частицы с неподвижным точечным источником \(U = V\bigl(l^2/r^2 - 2l/r\bigr)\), где \(r\) — расстояние между частицей и источником, \(V\) и \(l\) — положительные постоянные с размерностями энергии и расстояния. В какой области происходит прямолинейное движение частицы, если полная энергия системы равна \(E\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Замена. Пусть \(u = l/r > 0\). Тогда \(U = V(u^2 - 2u)\), и условие \(U \le E\) превращается в
\[ u^2 - 2u - \frac{E}{V} \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - s \le u \le 1 + s,\qquad s \equiv \sqrt{1 + \frac{E}{V}}. \](Корень существует при \(E \ge -V\) — это и есть глубина ямы: минимум \(U = -V\) достигается при \(u = 1\), то есть \(r = l\).)
Возвращаемся к \(r\). Так как \(u = l/r\), большим \(u\) отвечают малые \(r\):
\[ \frac{l}{1+s} \le r \le \frac{l}{1-s}. \]• При \(E > 0\) имеем \(s > 1\), и левое неравенство \(u \ge 1-s\) выполняется само собой (\(u\) положительно). Остаётся
\[ r \ge \frac{l}{1+s} = \frac{lV}{E}\Bigl(-1 + \sqrt{1 + \frac{E}{V}}\Bigr). \]Частица приходит из бесконечности, доходит до этой стенки и уходит обратно.
• При \(-V \le E < 0\) обе границы работают, движение финитно:
\[ r_{1,2} = \frac{lV}{E}\Bigl(-1 \pm \sqrt{1 + \frac{E}{V}}\Bigr), \qquad r_1 \le r \le r_2. \](Легко проверить, что \(\dfrac{lV}{E}(-1+s) = \dfrac{l}{1+s}\) и \(\dfrac{lV}{E}(-1-s) = \dfrac{l}{1-s}\), поскольку \(E = V(s^2-1)\).)