От груза, висящего на пружине жёсткости \(k\), отрывается часть массы \(m\).
На какую высоту поднимется после этого оставшаяся часть груза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Груз на пружине совершает гармонические колебания вокруг своего
положения равновесия. Отрыв куска мгновенно сдвигает это положение вверх, а
груз оказывается в этот момент покоящимся — значит, он в крайней точке, и
размах колебаний равен удвоенному сдвигу.
Точка равновесия подскочила на mg/k,
груз качнулся на вдвое большую высоту.
Где было равновесие. Пусть полная масса была \(M\). Пружина была
растянута на \(x_1 = Mg/k\).
Где оно стало. После отрыва куска массы \(m\) осталось \(M-m\),
и новое положение равновесия — при растяжении
Колебания. В момент отрыва оставшийся груз покоился, значит, он
оказался в крайней (нижней) точке колебаний, а амплитуда равна расстоянию до
нового равновесия:
\[ A = \frac{mg}{k}. \]
Из нижней крайней точки груз поднимается в верхнюю крайнюю — то есть на
два размаха амплитуды:
\[ h = 2A = \frac{2mg}{k}. \]
Проверка. Ответ не зависит от того, сколько груза
осталось ✓ — что и понятно: сдвинулось только положение равновесия, а оно
определяется отвалившейся массой. Проверим энергией: подъём на \(h\) меняет
энергию пружины на \(\tfrac{k}{2}\bigl(x_1^2 - (x_1-h)^2\bigr) =
k h(x_1 - h/2)\), а потенциальная энергия груза растёт на \((M-m)gh\);
при \(h = 2mg/k\) обе величины совпадают ✓.