Груз массы \(m\), подвешенный на пружине жёсткости \(k\), находится на
подставке. Пружина при этом не деформирована. Подставку быстро убирают.
Определите максимальное удлинение пружины и максимальную скорость груза.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Опять колебания вокруг положения равновесия \(x_0 = mg/k\). Груз стартует из
покоя при нулевой деформации — то есть ровно на \(x_0\) выше равновесия.
Значит, амплитуда равна \(x_0\), и дальше всё читается сразу.
Старт и нижняя точка симметричны относительно равновесия
mg/k.
Положение равновесия — там, где сила пружины уравновешивает тяжесть:
\[ x_0 = \frac{mg}{k}. \]
Амплитуда. В начальный момент деформация нулевая, а скорость нулевая —
значит, это крайняя точка колебаний, отстоящая от равновесия на \(x_0\):
\[ A = x_0 = \frac{mg}{k}. \]
Максимальное удлинение — вторая крайняя точка:
\[ x_{\max} = x_0 + A = \frac{2mg}{k}. \]
Максимальная скорость — в положении равновесия. Проще всего через
энергию на пути \(x_0\) вниз:
Проверка. То же самое даёт формула гармонических
колебаний \(v = \omega A\) с \(\omega = \sqrt{k/m}\):
\(v = \sqrt{k/m}\cdot mg/k = g\sqrt{m/k}\) ✓. В нижней точке удлинение вдвое
больше статического — знаменитый «динамический коэффициент 2» ✓: рывком
нагруженная пружина растягивается вдвое сильнее, чем при плавном нагружении.