К потолку привязан резиновый шнур, свободный конец которого находится на высоте \(h\) над полом. Если подвесить к нему небольшой тяжёлый груз, который затем плавно опустить, то конец шнура с грузом опустится на расстояние \(h/3\). На какую наименьшую высоту над полом надо затем поднять груз, чтобы после того, как его опустят, он ударился о пол? Как изменится ответ при замене резинового шнура пружиной?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Жёсткость. При плавном опускании груз останавливается в положении равновесия, а шнур растягивается на \(h/3\):
\[ mg = k\cdot\frac{h}{3} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{3mg}{h}. \]Резиновый шнур. Поднимем груз на высоту \(H\) над полом и отпустим без толчка. Чтобы груз только-только коснулся пола, вся его потенциальная энергия должна уйти в шнур, растянутый в этот момент на \(h\) (конец шнура был на высоте \(h\), груз опустился до нуля):
\[ mgH = \frac{kh^2}{2} = \frac{3mg}{h}\cdot\frac{h^2}{2} = \frac{3mgh}{2} \quad\Longrightarrow\quad H_1 = \frac{3h}{2}. \]Заметьте: \(H_1 > h\), то есть груз и правда поднимают выше свободного конца — шнур при этом провисает и энергии не запасает, что мы и учли.
Пружина. Пружину подъём выше \(h\) сжимает на \(H - h\), и этот запас тоже идёт в дело:
\[ mgH + \frac{k(H-h)^2}{2} = \frac{kh^2}{2}. \]Подставим \(k = 3mg/h\) и обозначим \(H = \beta h\):
\[ \beta + \frac{3}{2}(\beta-1)^2 = \frac32 \quad\Longrightarrow\quad \frac32\beta^2 - 2\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac43. \] \[ H_2 = \frac{4h}{3}. \]