Нерастянутый резиновый шнур длины \(2l\) своими концами прикреплён к
стенкам. К середине шнура прицепили груз массы \(m\), который затем без толчка
отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое
опускается груз, равно \(x_0\). Какова жёсткость этого шнура?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В самой нижней точке скорость нулевая, значит, вся опустившаяся потенциальная
энергия груза перешла в упругую. Остаётся сосчитать, насколько удлинился шнур,
— а это теорема Пифагора.
Каждая половина шнура удлинилась на
√(l² + x₀²) − l.
Насколько удлинился шнур. В нижней точке каждая половина шнура —
гипотенуза с катетами \(l\) и \(x_0\):
\[ \Delta = \sqrt{l^2 + x_0^2} - l \quad(\text{на каждую половину}),
\qquad \Delta L = 2\Delta. \]
Энергия. В нижней точке скорость нулевая, значит, вся работа тяжести
ушла в упругую энергию шнура:
Проверка. При малых \(x_0\) удлинение
\(\Delta \approx x_0^2/(2l)\), и жёсткость получается
\(k \approx 2mgl^2/x_0^3\) — она резко растёт при уменьшении \(x_0\) ✓:
почти горизонтальный шнур почти не тянется, но и держит слабо, поэтому,
чтобы груз опустился совсем чуть-чуть, шнур должен быть очень жёстким.
Размерность: \([mg x_0/\text{м}^2] = \text{Н/м}\) ✓.
Ответ
\( k = \dfrac{mg\,x_0}{2\bigl(\sqrt{l^2+x_0^2} - l\bigr)^{2}} \).