Тело массы \(m\) падает с высоты \(h\) на стоящую вертикально на полу пружину жёсткости \(k\) и длины \(l\). Определите максимальную силу давления на пол. Объясните, почему при увеличении жёсткости пружины эта сила возрастает.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия. Пусть \(x\) — наибольшее сжатие. От начала падения до этого момента тело опустилось на \((h-l) + x\), а вся энергия ушла в пружину:
\[ mg\bigl(h - l + x\bigr) = \frac{kx^2}{2}. \]Это квадратное уравнение \(kx^2/2 - mgx - mg(h-l) = 0\); берём положительный корень:
\[ x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2kmg(h-l)}}{k}. \]Сила на пол равна силе упругости \(kx\):
\[ F = kx = mg\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2k(h-l)}{mg}}\right). \]Почему жёсткая пружина «бьёт» сильнее. Энергия \(\approx mg(h-l)\) фиксирована, а гасить её пружина обязана на своём ходе \(x\). Жёсткая пружина сжимается меньше — значит, тормозить тело приходится на более коротком пути, а сила тем больше, чем короче путь торможения. Формально при больших \(k\)
\[ F \approx \sqrt{2kmg(h-l)} \propto \sqrt{k}. \]