Тело массы \(m\), подвешенное на пружине жёсткости \(k\), лежит на доске таким образом, что пружина не деформирована. Доску начинают опускать с ускорением \(a\). Чему равно удлинение пружины в момент отрыва тела от доски? Каково максимальное удлинение пружины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Момент отрыва. Пока тело на доске, оно идёт вниз с ускорением \(a\). По второму закону (вниз положительно)
\[ ma = mg - kx - N. \]Отрыв наступает при \(N = 0\):
\[ x_1 = \frac{m(g-a)}{k}. \](Разумеется, при \(a < g\); если доску отпустить в свободное падение, тело от неё не отстанет вовсе.)
2. Скорость в этот момент. Разгон был равноускоренным с ускорением \(a\) на пути \(x_1\):
\[ v^2 = 2a\,x_1 = \frac{2am(g-a)}{k}. \]3. Дальше — колебания. Положение равновесия тела на пружине — при удлинении \(x_{\text{равн}} = mg/k\). В момент отрыва тело находится выше него на
\[ d = \frac{mg}{k} - x_1 = \frac{ma}{k} \]и движется вниз со скоростью \(v\). Амплитуда колебаний с \(\omega^2 = k/m\):
\[ A^2 = d^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = \frac{m^2a^2}{k^2} + \frac{2am(g-a)}{k}\cdot\frac{m}{k} = \frac{m^2}{k^2}\bigl(2ag - a^2\bigr). \]4. Максимальное удлинение — равновесие плюс амплитуда:
\[ x_{\max} = \frac{mg}{k} + \frac{m}{k}\sqrt{2ga - a^2} = \frac{m}{k}\Bigl(g + \sqrt{2ga - a^2}\Bigr). \]