Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

Савченко, задача 2.3.48

Задача 2.3.48★ сдвинуть второй брусок

Условие

На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы \(m_1\) и \(m_2\), соединённых недеформированной пружиной. Определите, какую наименьшую постоянную силу нужно приложить к левому бруску, чтобы сдвинулся и правый, если коэффициент трения грузов о плоскость \(\mu\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Правый брусок трогается, когда пружина растянется настолько, что потянет его сильнее трения. А наибольшее растяжение бывает в тот момент, когда левый брусок останавливается — и найти его проще всего энергией.

Пока левый брусок не остановится, растяжение только растёт.

Что нужно правому. Он стронется, когда сила пружины превысит трение покоя:

\[ k\,x_* = \mu m_2 g \quad\Longrightarrow\quad x_* = \frac{\mu m_2 g}{k}. \]

Что может левый. Он стартует с места, а наибольшее смещение \(x_{\max}\) — там, где он снова останавливается. На этом участке работа силы \(F\) уходит на трение и на пружину:

\[ F\,x_{\max} = \mu m_1 g\,x_{\max} + \frac{k\,x_{\max}^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{\max} = \frac{2\bigl(F - \mu m_1 g\bigr)}{k}. \]

Сшиваем: нужно \(x_{\max} \ge x_*\):

\[ \frac{2(F - \mu m_1 g)}{k} \ge \frac{\mu m_2 g}{k} \quad\Longrightarrow\quad F \ge \mu g\Bigl(m_1 + \frac{m_2}{2}\Bigr). \]

Проверка. Жёсткость снова сократилась ✓. Обратите внимание на «половинку»: чтобы просто удержать пружину растянутой на \(x_*\), хватило бы силы \(\mu g(m_1 + m_2)\), но благодаря разгону-раскачке достаточно вдвое меньшей добавки — классический эффект «динамического запаса» ✓. При \(m_2 \to 0\) остаётся \(F = \mu m_1 g\) — сила, нужная просто чтобы сдвинуть первый брусок ✓.

Ответ \( F_{\min} = \mu g\Bigl(m_1 + \dfrac{m_2}{2}\Bigr) \).

Следующая задача 2.3.49 →