На горизонтальном столе находится тело массы \(m_0\). К телу привязана
нерастяжимая нить, перекинутая через блок. К свободному концу нити привязана
пружина. Какой массы груз нужно прицепить к пружине, чтобы, опускаясь, он мог
сдвинуть тело массы \(m_0\) с места, если коэффициент трения тела о стол
\(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Та же механика, что и в предыдущей задаче: опускаясь, груз растягивает пружину
и в нижней точке останавливается — там натяжение наибольшее. Хватит ли его,
чтобы пересилить трение?
Нить нерастяжима, поэтому натяжение равно силе пружины
kx.
Наибольшее растяжение. Груз опускается из состояния покоя и
останавливается, когда вся работа тяжести перейдёт в пружину:
(Тело \(m_0\) пока стоит, поэтому длина нити не меняется и всё удлинение
достаётся пружине.)
Наибольшее натяжение нити равно силе пружины в этот момент:
\[ T_{\max} = k\,x_{\max} = 2mg. \]
Условие сдвига тела \(m_0\):
\[ 2mg \ge \mu m_0 g \quad\Longrightarrow\quad m \ge \frac{\mu m_0}{2}. \]
Проверка. Без пружины (жёсткая нить) понадобился бы
груз \(m = \mu m_0\) — вдвое больше ✓. Пружина работает «рывком»: в нижней
точке колебаний она натянута вдвое сильнее, чем в равновесии — тот же
коэффициент 2, что в задачах 2.3.42 и 2.3.48 ✓. Жёсткость \(k\) в ответ не
вошла ✓.