Шарики массы \(m\) каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью \(v\). Кинетическая энергия каждого шарика, равная \(mv^2/2\), не меняется. Если перейти в систему отсчёта, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью \(v\), энергия каждого из шариков меняется от нуля до \(4\,(mv^2/2)\). Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчёта суммарная кинетическая энергия?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Откуда берётся размах. В новой системе отсчёта скорость каждого шарика равна \(\vec V + \vec v\), где \(|\vec V| = |\vec v| = v\). Когда вращательная скорость сонаправлена с \(\vec V\), модуль равен \(2v\) (энергия \(4\cdot mv^2/2\)); когда противонаправлена — нулю. Всё как надо.
Причина. Работу совершает сила натяжения нити. В «своей» системе отсчёта она перпендикулярна скорости шарика и потому не работает. В движущейся системе скорость шарика есть \(\vec V + \vec v\), и
\[ \vec T\cdot(\vec V + \vec v) = \vec T\cdot\vec V \ne 0 \](член \(\vec T\cdot\vec v\) по-прежнему нулевой). Никакой новой силы не появилось — просто та же сила теперь «догоняет» или «тормозит» шарик.
Суммарная энергия. Скорости шариков в исходной системе противоположны: \(+\vec v\) и \(-\vec v\). Значит,
\[ K = \frac{m}{2}\bigl|\vec V + \vec v\bigr|^2 + \frac{m}{2}\bigl|\vec V - \vec v\bigr|^2 = m\bigl(V^2 + v^2\bigr) = \text{const}. \]Перекрёстные члены \(\pm m\,\vec V\cdot\vec v\) взаимно уничтожаются. Это и понятно «по силам»: натяжения на двух шариках равны и противоположны, а добавка к скорости \(\vec V\) у них общая, поэтому работы \(\vec T\cdot\vec V\) и \((-\vec T)\cdot\vec V\) в сумме дают нуль.