Посередине спицы массы \(m_1\) и длины \(2l\) находится шайба массы
\(m_2\). Спице ударом сообщают продольную скорость \(v\). При этом шайба со
спицы соскальзывает. Какова после этого суммарная кинетическая энергия шайбы и
спицы, если сила трения равна \(F\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тепло, выделяемое парой сил трения, равно силе трения, умноженной на
относительное проскальзывание — независимо от того, как двигались тела
по отдельности. А проскальзывание здесь известно: полдлины спицы.
Относительно спицы шайба проползает ровно
l — от середины до конца.
Начальная энергия. Удар разгоняет только спицу, шайба ещё покоится:
\[ K_0 = \frac{m_1v^2}{2}. \]
Сколько ушло в тепло. Пара сил трения (на спицу и на шайбу) выделяет
\[ Q = F\cdot s_{\text{отн}}, \]
где \(s_{\text{отн}}\) — путь шайбы относительно спицы. Шайба стояла
посередине и сошла с конца, значит \(s_{\text{отн}} = l\).
Это верно независимо от того, как именно двигались спица и шайба по
отдельности: работа пары внутренних сил зависит только от их взаимного
смещения (задача 2.4.6).
\[ K = K_0 - Q = \frac{m_1v^2}{2} - Fl. \]
Проверка. Ответ не содержит \(m_2\) ✓ — масса шайбы
влияет на то, как распределится оставшаяся энергия, но не на потери.
При \(F \to 0\) вся энергия остаётся у спицы ✓. Формула имеет смысл, пока
\(Fl < m_1v^2/2\); иначе шайба не успеет соскользнуть и поедет вместе со
спицей.