Пружина жёсткости \(k\) зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружины прошли расстояния \(x_1\) и \(x_2\). Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Насколько была сжата пружина. Тела разошлись на \(x_1 + x_2\), и ровно на столько пружина и была сжата. Запасённая энергия
\[ E = \frac{k\,(x_1+x_2)^2}{2}. \]Как она делится. В каждый момент пружина действует на оба тела силой одной и той же величины \(F\). За малый промежуток времени тела проходят \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\), и работы относятся как \(\Delta x_1 : \Delta x_2\). Из сохранения импульса \(m_1v_1 = m_2v_2\) в любой момент, поэтому отношение скоростей постоянно, а значит постоянно и отношение путей:
\[ \frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \frac{x_1}{x_2}. \]Стало быть, вся энергия делится в том же отношении:
\[ K_1 = \frac{x_1}{x_1+x_2}\,E = \frac{k\,(x_1+x_2)\,x_1}{2}, \qquad K_2 = \frac{x_2}{x_1+x_2}\,E = \frac{k\,(x_1+x_2)\,x_2}{2}. \]