Лента транспортёра движется горизонтально со скоростью \(u\). На ленту по касательной к ней летит тело, скорость которого перпендикулярна направлению движения ленты и в момент попадания на неё равна \(v\). Тело скользит по ленте и затем останавливается относительно ленты. Найдите работу силы трения, приложенной к телу со стороны ленты и к ленте со стороны тела. Почему работа в этих случаях неодинакова?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Работа над телом. Начальная скорость \(v\) (поперёк ленты), конечная \(u\) (вдоль ленты). Работа силы трения равна изменению кинетической энергии:
\[ A_1 = \frac{mu^2}{2} - \frac{mv^2}{2}. \]Работа над лентой. На ленту действует сила \(-\vec f\) (третий закон), а лента всё время движется со скоростью \(\vec u\). За малое время \(\Delta t\) точка приложения смещается на \(\vec u\,\Delta t\), и работа равна \((-\vec f)\cdot\vec u\,\Delta t\). Сложим такие кусочки, вынося постоянную \(\vec u\):
\[ A_2 = -\vec u\cdot\sum \vec f\,\Delta t = -\vec u\cdot\Delta\vec p_{\text{тела}}, \]ведь сумма импульсов силы \(\sum\vec f\,\Delta t\) — это изменение импульса тела. Импульс тела вдоль ленты изменился от нуля до \(mu\), поэтому
\[ A_2 = -mu^2. \]Почему работы разные. Работы силы и противосилы сокращаются только тогда, когда точки их приложения движутся одинаково. Здесь тело скользит по ленте, точки приложения расходятся, и сумма работ не нуль:
\[ Q = -(A_1 + A_2) = \frac{mv^2}{2} + \frac{mu^2}{2}. \]Это выделившееся тепло. Проверить его можно и иначе: в системе отсчёта ленты тело начинает движение со скоростью \(\sqrt{u^2+v^2}\) и полностью останавливается, так что в тепло уходит вся эта энергия ✓.