Частицы, между которыми действует постоянная сила взаимного притяжения \(F\), удерживают на расстоянии \(2r\) друг от друга. Затем их начинают медленно перемещать в противоположных направлениях под углом \(\alpha\) к линии, первоначально соединявшей частицы (угол отсчитывается от направления на другую частицу). Какую работу надо совершать, чтобы переместить частицы на расстояние \(r\)? При каком \(\alpha\) эта работа равна нулю?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Поместим частицы в точки \((\pm r, 0)\). Каждая смещается на \(r\) под углом \(\alpha\) к направлению на соседку, и смещения противоположны. Правая частица переходит в
\[ \bigl(r - r\cos\alpha,\ r\sin\alpha\bigr), \]левая — в симметричную точку. Новое расстояние равно удвоенному расстоянию от начала координат:
\[ d = 2r\sqrt{(1-\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha} = 2r\sqrt{2-2\cos\alpha} = 4r\sin\frac{\alpha}{2}. \]Работа. Притяжение постоянно по величине и направлено вдоль соединяющей линии, поэтому его работа равна \(-F\,\Delta d\), а внешняя сила (перемещаем медленно) совершает
\[ A = F\,(d - 2r) = 2Fr\left(2\sin\frac{\alpha}{2} - 1\right). \]Когда работа нулевая:
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\alpha}{2} = 30^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 60^\circ. \]При таком угле частицы, разъезжаясь, оказываются точно на прежнем расстоянии друг от друга. Это видно и без формулы: в треугольнике «середина отрезка — старое место частицы — новое место» две стороны равны \(r\), а угол между ними \(60^\circ\) — треугольник равносторонний. Значит, каждая частица по-прежнему на расстоянии \(r\) от середины, и расстояние между ними снова \(2r\).