Почему при центральном взаимодействии частиц изменение полной кинетической энергии зависит только от изменения расстояния между частицами, но не от смещения или поворота их как целого?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Складываем работы. Пусть на первую частицу действует \(\vec F\), на вторую \(-\vec F\). За малый шаг
\[ \Delta A = \vec F\cdot\Delta\vec r_1 + (-\vec F)\cdot\Delta\vec r_2 = \vec F\cdot\Delta(\vec r_1 - \vec r_2) = \vec F\cdot\Delta\vec R. \]Здесь \(\vec R\) — вектор, соединяющий частицы. Уже отсюда видно: если систему просто сдвинуть как целое, то \(\Delta\vec R = 0\) и работа нулевая.
Центральность. Для центральной силы \(\vec F = f(R)\,\dfrac{\vec R}{R}\), поэтому
\[ \Delta A = f(R)\,\frac{\vec R\cdot\Delta\vec R}{R} = f(R)\,\Delta R, \]потому что \(\vec R\cdot\Delta\vec R = R\,\Delta R\) (это просто производная от \(R^2 = \vec R\cdot\vec R\)). Работа выражается через одно число — изменение расстояния.
Поворот как целое не меняет \(R\), значит \(\Delta R = 0\) и работа снова нулевая. Геометрически: при повороте \(\Delta\vec R\) перпендикулярен \(\vec R\), а сила направлена вдоль \(\vec R\).
Поскольку изменение полной кинетической энергии равно суммарной работе всех сил, а взаимные силы дают вклад \(\sum f(R)\,\Delta R\) — сумму по маленьким шагам изменения расстояния, — эта часть зависит только от начального и конечного расстояний.