Три шарика массы \(m\) каждый соединены друг с другом одинаковыми пружинами
жёсткости \(k\). Одновременно всем шарикам сообщили скорость \(v\),
направленную от центра системы. На какое наибольшее расстояние сместятся шарики
в этом направлении?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Симметрия сохраняется: треугольник просто раздувается, оставаясь правильным.
Значит, вся картина описывается одним числом — смещением \(x\), и остаётся
связать с ним удлинение пружин.
Смещение каждого шарика на x удлиняет
каждую пружину на x√3.
Геометрия. Пусть сторона треугольника \(a\), радиус описанной
окружности \(R = a/\sqrt3\). Треугольник остаётся правильным, поэтому при
смещении шариков на \(x\) наружу радиус становится \(R+x\), а сторона растёт
в том же отношении:
\[ \Delta a = a\,\frac{x}{R} = a\cdot\frac{x\sqrt3}{a} = x\sqrt3. \]
Каждая из трёх пружин удлиняется на \(x\sqrt3\).
Энергия. В момент наибольшего удаления шарики останавливаются, и вся
кинетическая энергия оказывается в пружинах:
Проверка. Размерность: \(v\sqrt{m/k}\) — метры ✓.
Три пружины «работают» на каждый шарик эффективнее, чем одна: коэффициент
\(1/\sqrt3\) как раз это и отражает ✓. Формально можно проверить и через
частоту: каждый шарик колеблется вдоль своего радиуса с
\(\omega = \sqrt{3k/m}\), а \(x = v/\omega\) ✓.