Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность

Савченко, задача 2.4.8

Задача 2.4.8два заряда и три заряда

Условие

Два одинаковых заряда, удерживаемых на расстоянии \(l\) друг от друга, после того как их отпустили, разлетаются с равными скоростями, стремящимися при бесконечном удалении зарядов друг от друга к предельному значению \(v\). Какова предельная скорость, если первоначально три таких же заряда удерживали в вершинах правильного треугольника со сторонами длины \(l\)?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Считать поле не нужно: достаточно заметить, что у треугольника три взаимодействующие пары вместо одной, а разлетающихся зарядов — три вместо двух. Отношение «энергия на один заряд» и решает задачу.

У треугольника втрое больше запасённой энергии — и втрое больше зарядов, но энергия на заряд всё же вдвое выше.

Два заряда. Вся энергия взаимодействия пары переходит в кинетическую:

\[ \frac{kq^2}{l} = 2\cdot\frac{mv^2}{2} = mv^2. \]

Три заряда. Пар теперь три, и все на расстоянии \(l\), поэтому запасённая энергия равна \(3kq^2/l\). По симметрии все три заряда разлетаются одинаково:

\[ \frac{3kq^2}{l} = 3\cdot\frac{mv_0^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{kq^2}{l} = \frac{mv_0^2}{2}. \]

Сравнивая с первой строчкой:

\[ mv^2 = \frac{mv_0^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad v_0 = v\sqrt2. \]

Проверка. Логика «на один заряд»: у пары одна связь делится на два заряда, у треугольника три связи — на три заряда, то есть на каждый приходится в два раза больше энергии; скорость растёт как корень — отсюда \(\sqrt2\) ✓. Для правильного тетраэдра (6 пар, 4 заряда) вышло бы \(v_0 = v\sqrt3\) ✓ — та же арифметика.

Ответ \( v_0 = v\sqrt2 \).

Следующая задача 2.4.9 →