На концах длинной нити подвешены грузы массы \(m\) каждый. Нить переброшена через два лёгких маленьких блока, расположенных на расстоянии \(2l\) друг от друга. К ней посередине между блоками прикрепляют груз массы \(2m\), и система приходит в движение. Найдите скорость грузов по истечении достаточно большого промежутка времени.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Связь перемещений. Когда средний груз опустился на \(y\), каждая наклонная ветвь стала равна \(\sqrt{l^2+y^2}\), то есть удлинилась на \(\sqrt{l^2+y^2} - l\). Нить нерастяжима, значит, каждый боковой груз поднялся ровно на столько же.
Энергия. Обозначим скорость среднего груза \(u\), а угол наклона ветви к горизонту \(\theta\). Боковые грузы движутся со скоростью \(u\sin\theta\) (это проекция скорости среднего груза на направление ветви):
\[ 2mg\,y - 2mg\left(\sqrt{l^2+y^2} - l\right) = \frac{2m u^2}{2} + 2\cdot\frac{m\,(u\sin\theta)^2}{2}. \]Предел при больших \(y\). Тогда \(\sqrt{l^2+y^2} \approx y + \dfrac{l^2}{2y} \to y\) и \(\sin\theta \to 1\). Левая часть стремится к \(2mgl\), правая — к \(2mu^2\):
\[ 2mgl = 2mu^2 \quad\Longrightarrow\quad u = \sqrt{gl}. \]Боковые грузы движутся со скоростью \(u\sin\theta \to u\), то есть с той же предельной скоростью.