Систему из предыдущей задачи (нить через два блока на расстоянии \(2l\), на
концах по грузу массы \(m\)) приводит в движение центральный груз массы \(m\),
прикреплённый к нити посередине между блоками. Определите максимальное
удаление груза от его начального положения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Теперь центральный груз лёгкий: он опускается, поднимает боковые и в какой-то
момент останавливается. В этот миг скорости всех трёх грузов равны нулю, и
задача сводится к одному уравнению энергии.
В нижней точке все три груза покоятся — работает чистая
энергия.
Связь перемещений. Пусть средний груз опустился на \(y\). Каждая
наклонная ветвь стала равна \(\sqrt{l^2+y^2}\), то есть удлинилась на
\(\sqrt{l^2+y^2} - l\); ровно на столько поднялся каждый боковой груз.
Условие остановки. В самой нижней точке все скорости нулевые
(боковые грузы движутся со скоростью, пропорциональной скорости среднего).
Значит, кинетической энергии нет ни в начале, ни в конце:
Проверка. Корень \(y = 0\) — начальное положение ✓.
Подставим \(y = 4l/3\): наклонная ветвь равна
\(\sqrt{l^2 + 16l^2/9} = 5l/3\), удлинение \(2l/3\), значит, боковые грузы
поднялись суммарно на \(4l/3\) — как раз столько, на сколько опустился
средний ✓. Сравните с задачей 2.4.9: там средний груз вдвое тяжелее, и
остановки не наступает вовсе — он разгоняется до \(\sqrt{gl}\) ✓.