Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность

Савченко, задача 2.4.11

Условие

Клин массы \(M\) с углом \(\alpha\) при вершине плотно прилегает к вертикальной стенке и опирается на брусок массы \(m\), находящийся на горизонтальной плоскости. Вершина клина находится на высоте \(H\) над этой плоскостью, а торец клина — на высоте \(h < H\) над верхней поверхностью бруска. Брусок сначала удерживают, а затем отпускают. Найдите его скорость в момент отрыва от клина. Трением пренебречь.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Клин может ехать только вниз (его держит стенка), брусок — только вбок. Скорости связаны наклоном грани: \(v = V\operatorname{tg}\alpha\). Дальше — одна строчка энергии. А расстается клин с бруском, опустившись на \(h\): именно тогда точка касания доезжает до торца грани.

Клин съезжает вниз по стенке и выталкивает брусок вбок; контакт теряется, когда угол бруска доходит до торца грани.

1. Связь скоростей. Грань наклонена к вертикали под углом \(\alpha\). Скорости клина (вниз, \(V\)) и бруска (вбок, \(v\)) должны давать одинаковые проекции на нормаль к грани, иначе тела разъехались бы или вдавились друг в друга. Это даёт

\[ V\sin\alpha = v\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad v = V\operatorname{tg}\alpha. \]

2. Энергия. Трения нет, брусок по высоте не меняется, а клин опускается на \(h\):

\[ Mgh = \frac{MV^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{V^2}{2}\Bigl(M + m\operatorname{tg}^2\alpha\Bigr). \] \[ V = \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m\operatorname{tg}^2\alpha}},\qquad v = \operatorname{tg}\alpha\,\sqrt{\frac{2Mgh}{M + m\operatorname{tg}^2\alpha}}. \]

Это и есть искомая скорость бруска в момент отрыва.

3. Что дальше с клином. Расставшись с бруском, клин просто падает. К этому моменту его вершина находится на высоте \(H - h\), поэтому у земли

\[ v_M = \sqrt{\frac{2Mgh}{M + m\operatorname{tg}^2\alpha} + 2g(H-h)}. \]

Проверка. При \(\alpha \to 0\) (грань почти вертикальна) брусок не разгоняется: \(v \to 0\), а клин падает свободно, \(V \to \sqrt{2gh}\) ✓. При \(\alpha \to 90^\circ\) грань почти горизонтальна, клин почти не может опуститься: \(V \to 0\), но \(v = V\operatorname{tg}\alpha \to \sqrt{2Mgh/m}\) — вся энергия достаётся бруску ✓. При \(m \to 0\) снова свободное падение ✓.

Ответ \( v = \operatorname{tg}\alpha\,\sqrt{\dfrac{2Mgh}{M + m\operatorname{tg}^2\alpha}} \); у клина при ударе о плоскость \( v_M = \sqrt{\dfrac{2Mgh}{M + m\operatorname{tg}^2\alpha} + 2g(H-h)} \).

Следующая задача 2.4.12 →