Два гладких одинаковых цилиндра радиуса \(R\) прислонены к стенке. Из-за того, что нижний цилиндр чуть-чуть стронулся вправо по горизонтальной плоскости, верхний стал опускаться по вертикали, и система пришла в движение. Найдите конечную скорость нижнего цилиндра.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Переменные. Пусть \(a\) — горизонтальное расстояние между осями, \(b\) — вертикальное. Цилиндры касаются, поэтому
\[ a^2 + b^2 = 4R^2, \qquad a: 0 \to 2R,\quad b: 2R \to 0. \]Верхний цилиндр опустился на \(2R - b\).
Связь скоростей. Скорости \(u\) (нижний, вбок) и \(w\) (верхний, вниз) должны давать равные проекции на линию центров:
\[ u\,a = w\,b. \]Энергия. Всё гладкое, нижний цилиндр по высоте не меняется:
\[ g\,(2R-b) = \frac{u^2}{2} + \frac{w^2}{2} = \frac{u^2}{2}\left(1 + \frac{a^2}{b^2}\right) = \frac{u^2}{2}\cdot\frac{4R^2}{b^2}. \]Отсюда
\[ u^2 = \frac{g\,(2R-b)\,b^2}{2R^2}. \]Момент расставания. Пока цилиндры давят друг на друга, нижний разгоняется. Как только \(u\) достигает максимума, разгонять его больше нечем: сила взаимодействия обращается в нуль, и цилиндры разъезжаются. Значит, надо найти максимум произведения \((2R-b)\,b^2\). Разложим его для неравенства о средних:
\[ (2R-b)\cdot\frac b2\cdot\frac b2 \le \left(\frac{(2R-b) + \frac b2 + \frac b2}{3}\right)^{3} = \frac{8R^3}{27}, \]причём равенство достигается при \(2R-b = b/2\), то есть при \(b = \dfrac{4R}{3}\). Тогда \((2R-b)b^2 = 4\cdot\dfrac{8R^3}{27} = \dfrac{32R^3}{27}\) и
\[ u^2 = \frac{g}{2R^2}\cdot\frac{32R^3}{27} = \frac{16gR}{27}, \qquad u = \frac43\sqrt{\frac{gR}{3}}. \]Дальше пол гладкий, и нижний цилиндр катится с этой скоростью не замедляясь.