Гладкая однородная верёвка длины \(l\) и массы \(m\) переброшена через небольшой блок так, что вначале находится в равновесии. Верёвку немного смещают, и она начинает соскальзывать с блока. С какой силой действует она на блок в момент, когда длина верёвки с одной стороны от него равна \(l/3\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Скорость. Обозначим \(\lambda = m/l\). Центр масс верёвки вначале был на глубине \(l/4\) под блоком (каждая половина — своим центром на \(l/4\)). Теперь стороны равны \(a = l/3\) и \(b = 2l/3\), и глубина центра масс равна
\[ \frac{a^2 + b^2}{2l} = \frac{l/9 + 4l/9}{2} = \frac{5l}{18}. \]Значит, центр масс опустился на \(\dfrac{5l}{18} - \dfrac{l}{4} = \dfrac{l}{36}\), и
\[ \frac{mv^2}{2} = mg\cdot\frac{l}{36} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{gl}{18}. \]2. Ускорение. Тянет вниз только «лишний» кусок \(b - a = l/3\):
\[ a_\tau = \frac{\lambda (b-a) g}{m} = \frac{g}{3}. \]3. Второй закон для всей верёвки. Направим ось вниз. Скорости сторон противоположны, поэтому полный импульс верёвки \(p = \lambda(b-a)\,v\). Здесь меняются оба сомножителя: скорость растёт с ускорением \(a_\tau\), а разность длин — со скоростью \(\dot b - \dot a = 2v\). За малое время \(\Delta[(b-a)v] = (b-a)\,\Delta v + v\,\Delta(b-a)\), поэтому
\[ \frac{\Delta p}{\Delta t} = \lambda(b-a)\,a_\tau + \lambda\,v\cdot 2v = \frac{m}{l}\cdot\frac{l}{3}\cdot\frac{g}{3} + \frac{2m}{l}\cdot\frac{gl}{18} = \frac{mg}{9} + \frac{mg}{9} = \frac{2mg}{9}. \]На верёвку действуют тяжесть \(mg\) (вниз) и реакция блока \(N\) (вверх):
\[ mg - N = \frac{2mg}{9} \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{7mg}{9}. \]По третьему закону Ньютона верёвка давит на блок вниз с той же силой.