На теннисный мяч с высоты 1 м падает стальной шарик и подскакивает снова
почти на 1 м. Оцените, на какую высоту после удара подскочит мяч.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Мяч лёгкий и упругий: во время удара его макушка движется вместе с шариком,
а донышко стоит на полу. Значит, центр мяча движется вдвое медленнее макушки —
и после удара улетает со скоростью вдвое меньшей, чем шарик.
Пока донышко на полу, центр мяча повторяет половину движения
макушки.
Что известно про шарик. Он падает с \(H = 1\) м, приходит со
скоростью \(v = \sqrt{2gH}\) и отскакивает почти на ту же высоту — значит,
уходит вверх практически с той же скоростью \(v\). Столкновение упругое: мяч
сработал как хорошая пружина.
Что делает мяч. Пока длится удар, донышко мяча прижато к полу и
покоится, а макушка вдавливается и распрямляется вместе с шариком. Оболочка
деформируется примерно равномерно, поэтому центр мяча смещается вдвое меньше
макушки — и движется вдвое медленнее:
Проверка. Оценка «сверху» тоже сходится: масса мяча
много меньше массы шарика, поэтому энергии у мяча немного, и подскакивает он
заметно ниже метра ✓. Если бы мяч был абсолютно жёстким, он вообще остался бы
на полу; если бы, наоборот, вся оболочка двигалась с макушкой, он взлетел бы
на \(1\) м. Ответ \(H/4\) — ровно посередине этих крайностей в «квадратичном»
смысле ✓.
Ответ
\( h \approx \dfrac{H}{4} \approx 0{,}25 \) м.