Два летящих друг за другом с равными скоростями шарика соединены сжатой пружиной. Пружина связана нитью. После пережигания нити кинетическая энергия переднего шарика, имевшая значение \(K\), увеличилась на 21 %. Какую энергию приобрёл бы этот шарик после пережигания нити, если бы до пережигания оба шарика были неподвижны? Почему при одном и том же изменении потенциальной энергии пружины получаются столь разные приращения кинетической энергии?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что делает пружина. Шарики одинаковы, поэтому в системе центра масс они разлетаются с равными по модулю скоростями \(w\). В лабораторной системе передний получает \(u + w\), задний — \(u - w\).
Находим \(w\). Энергия переднего шарика
\[ K' = \frac{m(u+w)^2}{2} = K\left(1 + \frac{w}{u}\right)^2 = 1{,}21\,K \ \Longrightarrow\ 1 + \frac{w}{u} = 1{,}1 \ \Longrightarrow\ \frac{w}{u} = 0{,}1. \]Если бы шарики покоились, передний получил бы только «внутреннюю» скорость \(w\):
\[ K_0 = \frac{mw^2}{2} = K\left(\frac{w}{u}\right)^2 = 0{,}01\,K. \]Почему так по-разному. Работа пружины над шариком равна силе, умноженной на его перемещение. Летящий шарик за то же время уходит гораздо дальше, поэтому и работа над ним во много раз больше. Энергия пружины при этом расходуется одна и та же — просто в движущемся случае она перераспределяется: задний шарик теряет
\[ K - \frac{m(u-w)^2}{2} = K\bigl(1 - 0{,}9^2\bigr) = 0{,}19\,K, \]а передний приобретает \(0{,}21K\). Разница \(0{,}02K\) — это и есть энергия пружины, ровно \(2K_0\), как и в случае покоя.