Две бусинки массы \(m\) каждая, связанные друг с другом пружиной жёсткости \(k\), удерживают на гладких жёстко закреплённых в стене стержнях (стержни сходятся к свободным концам, образуя с осью симметрии угол \(\alpha\)). Пружина растянута, и её длина равна \(l\). Расстояние между свободными концами стержней равно длине недеформированной пружины \(l_0\). Бусинки отпускают. С какой скоростью будет двигаться пружина в направлении \(x\) после того, как бусинки соскочат со стержней? Какой будет наибольшая деформация сжатия пружины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Скорость схода со стержней. К свободным концам расстояние между бусинками становится равным \(l_0\) — пружина не деформирована, вся её энергия перешла в кинетическую:
\[ \frac{k\,(l-l_0)^2}{2} = 2\cdot\frac{mv^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad v = (l-l_0)\sqrt{\frac{k}{2m}}. \]Скорость \(v\) направлена вдоль стержня.
2. Движение системы. Раскладываем каждую скорость на продольную (вдоль оси \(x\)) и поперечную:
\[ v_x = v\cos\alpha \ \ (\text{у обеих бусинок одинаково}),\qquad v_\perp = v\sin\alpha \ \ (\text{навстречу друг другу}). \]Поперечные компоненты противоположны и в сумме дают нуль, поэтому центр масс (а вместе с ним и пружина) летит вдоль \(x\) со скоростью
\[ v_x = (l-l_0)\sqrt{\frac{k}{2m}}\,\cos\alpha. \]3. Наибольшее сжатие. Поперечное сближение — это чистое «внутреннее» движение: бусинки идут навстречу со скоростью \(v\sin\alpha\) каждая. В момент наибольшего сжатия поперечные скорости обнуляются, и вся эта энергия сидит в пружине:
\[ 2\cdot\frac{m\,(v\sin\alpha)^2}{2} = \frac{k\,x^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{2m v^2\sin^2\alpha}{k} = (l-l_0)^2\sin^2\alpha. \] \[ x = (l-l_0)\sin\alpha. \]