а. Назовём энергией движения центра масс системы величину \(MV^2/2\), где \(M\) — масса системы, а \(V\) — скорость её центра масс. В каком случае энергия движения центра масс совпадает с полной кинетической энергией системы?
б. Докажите, что приращение энергии движения центра масс равно работе суммарной внешней силы, если точку приложения взять в центре масс.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Разложим скорость каждой частицы: \(\vec v_i = \vec V + \vec u_i\), где \(\vec u_i\) — скорость относительно центра масс. Тогда (см. задачу 2.4.23)
\[ K = \frac{MV^2}{2} + \sum_i \frac{m_i u_i^2}{2}. \]Второе слагаемое неотрицательно и обращается в нуль тогда и только тогда, когда все \(\vec u_i = 0\), то есть когда все частицы движутся с одной и той же скоростью. Это поступательное движение системы как целого — единственный случай, когда \(K = MV^2/2\).
б. Второй закон Ньютона для системы гласит
\[ M\,\vec a_{\text{ц}} = \sum \vec F_{\text{внеш}}. \]Умножим обе части скалярно на перемещение центра масс \(\Delta \vec r_{\text{ц}} = \vec V\,\Delta t\):
\[ M\,\vec a_{\text{ц}}\cdot\vec V\,\Delta t = \Bigl(\sum \vec F_{\text{внеш}}\Bigr)\cdot\Delta\vec r_{\text{ц}}. \]Слева стоит в точности приращение величины \(MV^2/2\), потому что
\[ \Delta\!\left(\frac{MV^2}{2}\right) = M\,\vec V\cdot\Delta\vec V = M\,\vec V\cdot\vec a_{\text{ц}}\,\Delta t. \]Итак, на каждом малом шаге приращение \(MV^2/2\) равно элементарной работе \(\bigl(\sum\vec F_{\text{внеш}}\bigr)\cdot\Delta\vec r_{\text{ц}}\). Складывая такие шаги по всему пути, получаем: полное приращение \(\Delta(MV^2/2)\) равно работе суммарной внешней силы на перемещении центра масс.