Сила, действующая на снаряд массы \(m\) в стволе орудия, нарастает
равномерно от нуля до \(F_0\) на участке ствола длины \(l_1\), не меняется на
участке ствола длины \(l_2\) и, наконец, равномерно уменьшается до нуля на
участке ствола длины \(l_3\). Какова скорость снаряда при вылете из ствола?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Работа переменной силы — это площадь под графиком \(F(l)\). Здесь она
складывается из двух треугольников и прямоугольника.
Работа силы на всём стволе — площадь трапеции.
Площадь под графиком:
\[ A = \underbrace{\frac{F_0 l_1}{2}}_{\text{треугольник}}
+ \underbrace{F_0 l_2}_{\text{прямоугольник}}
+ \underbrace{\frac{F_0 l_3}{2}}_{\text{треугольник}}
= \frac{F_0\,(l_1 + 2l_2 + l_3)}{2}. \]
Скорость. Вся работа идёт в кинетическую энергию:
\[ \frac{m v^2}{2} = \frac{F_0\,(l_1+2l_2+l_3)}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
v = \sqrt{\frac{F_0\,(l_1 + 2l_2 + l_3)}{m}}. \]
Проверка. Если сила всё время равна \(F_0\)
(\(l_1 = l_3 = 0\)), получаем \(v = \sqrt{2F_0l_2/m}\) — обычная формула ✓.
Средний участок «весит» вдвое больше крайних — на нём сила максимальна всё
время, а на скатах в среднем вдвое меньше ✓.
Ответ
\( v = \sqrt{\dfrac{F_0\,(l_1+2l_2+l_3)}{m}} \).