Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

Савченко, задача 2.3.6

Задача 2.3.6брусок через шероховатую полосу

Условие

Однородный брусок, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, попадает на шероховатый участок этой поверхности ширины \(L\), коэффициент трения о который \(\mu\). При какой начальной скорости он преодолеет этот участок?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Не надо разбираться, какая часть бруска в каждый момент на шероховатом участке. Посчитаем работу трения «по кусочкам бруска»: каждый его элемент проходит через полосу ровно один раз, преодолевая одну и ту же ширину \(L\).

Сколько бы ни был длинен брусок, каждая его частичка «оплачивает» одну и ту же ширину \(L\).

Работа трения. Возьмём элемент бруска массы \(\Delta m\). Пока он находится над шероховатым участком, на него действует трение \(\mu\,\Delta m\,g\), и этот участок он проходит по длине \(L\). Работа против трения для элемента: \(\mu\,\Delta m\,g\,L\). Складывая по всем элементам, \[ A_{\text{тр}} = \mu\, m g L, \] и — что важно — длина бруска в ответ не входит.

Условие преодоления. Кинетической энергии должно хватить: \[ \frac{m v^2}{2} \ge \mu m g L \quad\Longrightarrow\quad v \ge \sqrt{2\mu g L}. \]

Проверка. Ответ такой же, как для точечного тела ✓ — брусок можно мысленно «сжать в точку». Скорость по мере прохождения полосы убывает не равномерно (сила растёт, пока брусок въезжает, и падает, когда выезжает), но энергетический баланс этого не замечает.

Ответ \( v \ge \sqrt{2\mu g L} \).

Следующая задача 2.3.7 →