Из длинной полоски резины жёсткости \(k\) сделали рогатку. Найдите
кинетическую энергию «снаряда», выпущенного из этой рогатки, если резину
растянули с силой \(F\) и затем отпустили.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Полоску сложили пополам — получились две ветви вдвое короче, а короткая
резинка вдвое жёстче. К тому же тянущая сила делится между двумя ветвями
пополам. Оба множителя работают против нас.
Одна длинная полоска жёсткости \(k\) даёт две короткие ветви жёсткости \(2k\) каждая.
Жёсткость ветви. Половина полоски вдвое короче, а короткая резинка
при той же силе растягивается вдвое меньше — значит, её жёсткость \(2k\).
Сила и растяжение. Тянущая сила \(F\) делится между двумя ветвями:
на каждую приходится \(F/2\), и каждая растянута на
\[ x = \frac{F/2}{2k} = \frac{F}{4k}. \]
Энергия. Складываем энергию двух ветвей:
\[ E = 2\cdot\frac{2k\,x^2}{2} = 2k\,\frac{F^2}{16k^2} = \frac{F^2}{8k}. \]
Вся она достаётся снаряду:
\[ E_{\text{к}} = \frac{F^2}{8k}. \]
Проверка. Если бы ту же силу \(F\) приложили к целой
полоске (одна ветвь жёсткости \(k\)), энергия была бы \(F^2/(2k)\) — вчетверо
больше ✓. Вот почему рогатка из длинной резинки бьёт сильнее, чем из короткой,
и почему «две ветви» — компромисс ради удобства, а не ради мощности.