Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность

Савченко, задача 2.4.19

Условие

Свободный конец нити, намотанной на катушку массы \(m\), закрепляют, а катушку отпускают. Какую скорость приобретает ось катушки, опустившись на расстояние \(h\), если сила натяжения вертикального участка нити \(T < mg\)? Чему равны в этот момент полная кинетическая энергия и кинетическая энергия вращения катушки вокруг собственной оси? Массой нити и трением пренебречь.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Нить нерастяжима и сходит с катушки, поэтому та её точка, где нить касается катушки, в каждый момент неподвижна. А сила, приложенная к неподвижной точке, работы не совершает — значит, вся энергия берётся только от тяжести.

Точка схода нити — мгновенный центр: она покоится, и натяжение работы не совершает.

1. Скорость оси. Для центра масс достаточно второго закона:

\[ ma = mg - T \quad\Longrightarrow\quad a = g - \frac{T}{m}. \]

Движение равноускоренное, поэтому после спуска на \(h\)

\[ v = \sqrt{2h\Bigl(g - \frac{T}{m}\Bigr)}. \]

2. Полная кинетическая энергия. Нить нерастяжима и её верхний конец закреплён, поэтому точка катушки, в которой нить от неё отходит, в каждый момент неподвижна. Сила натяжения приложена именно к ней и работы не совершает. Работает одна тяжесть:

\[ K = mgh. \]

3. Энергия вращения — это всё, что осталось сверх поступательной:

\[ K_{\text{вр}} = mgh - \frac{mv^2}{2} = mgh - mh\Bigl(g - \frac{T}{m}\Bigr) = Th. \]

Проверка. При \(T \to 0\) (нить не натянута) катушка просто падает: \(v \to \sqrt{2gh}\), \(K_{\text{вр}} \to 0\) ✓. При \(T \to mg\) катушка не опускается вовсе, а вся энергия ушла бы во вращение ✓. Знак \(K_{\text{вр}} = Th > 0\) правильный, и виден смысл: натяжение как бы «перекачивает» долю \(Th\) из поступательного движения во вращательное, не меняя полной энергии \(mgh\) ✓.

Ответ \( v = \sqrt{2h\bigl(g - T/m\bigr)} \); \( K = mgh \); \( K_{\text{вр}} = Th \).

Следующая задача 2.4.20 →