Собака массы \(m\) привязана поводком длины \(L\) к саням массы \(M > m\). В начальный момент собака находится рядом с санями. На какое наибольшее расстояние собака может сдвинуть сани за один рывок, если коэффициенты трения лап собаки и полозьев саней о горизонтальную поверхность одинаковы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Разгон. Больше, чем \(\mu m g\), лапы от земли не «отпихнут» — иначе они проскользнут. Значит, максимальное ускорение собаки \(a = \mu g\), и к концу поводка
\[ v^2 = 2\mu g L. \]2. Рывок. Поводок нерастяжим — это абсолютно неупругий удар. Импульс сохраняется:
\[ mv = (M+m)\,u \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{mv}{M+m}. \]3. Совместное скольжение. Теперь вперёд систему тянут лапы собаки (максимум \(\mu m g\)), а назад — трение полозьев \(\mu M g\). Результат
\[ (M+m)\,a' = \mu m g - \mu M g = -\mu (M-m)\,g. \]Так как \(M > m\), система тормозится, и пройденный путь
\[ x = \frac{u^2}{2|a'|} = \frac{m^2\,2\mu g L}{(M+m)^2}\cdot\frac{M+m}{2\mu (M-m) g} = \frac{m^2L}{(M+m)(M-m)}. \] \[ x = \frac{m^2 L}{M^2 - m^2}. \]