На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, соединённых пружиной жёсткости \(k\) и длины \(l_0\). На левый брусок внезапно начинает действовать постоянная сила \(F\), направленная вдоль пружины (от второго бруска). Найдите минимальное и максимальное расстояния между брусками.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение для расстояния. Пусть \(\delta\) — удлинение пружины, \(s = l_0 + \delta\) — расстояние между брусками. Для левого бруска (сила \(F\) тянет его влево, пружина — вправо) и для правого:
\[ m\ddot x_1 = -F + k\delta,\qquad m\ddot x_2 = -k\delta. \]Вычитая, получаем уравнение для \(\delta = x_2 - x_1\):
\[ \ddot\delta = -\frac{2k}{m}\,\delta + \frac{F}{m}. \]Это в точности уравнение гармонических колебаний с частотой \(\omega = \sqrt{2k/m}\) около положения равновесия
\[ \delta_{\text{равн}} = \frac{F}{2k}. \]Амплитуда. В начальный момент пружина не деформирована (\(\delta = 0\)) и бруски покоятся — значит, это крайняя точка колебаний, и амплитуда равна расстоянию до равновесия, то есть \(F/2k\). Поэтому \(\delta\) пробегает значения от \(0\) до \(F/k\):
\[ l_{\min} = l_0,\qquad l_{\max} = l_0 + \frac{F}{k}. \]