С наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом, начинают соскальзывать два тела массы \(m\) каждое, связанные первоначально недеформированной пружиной жёсткости \(k\). Определите наибольшее удлинение пружины, если трением между нижним телом и плоскостью можно пренебречь, а коэффициент трения между верхним телом и плоскостью равен \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Случай 1: \(\mu \le \operatorname{tg}\alpha\) — верхнее тело едет с самого начала. Направим ось вдоль склона вниз, обозначим \(x\) — удлинение. Ускорения тел:
\[ a_{\text{низ}} = g\sin\alpha - \frac{kx}{m},\qquad a_{\text{верх}} = g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha + \frac{kx}{m}. \]Их разность и есть \(\ddot x\):
\[ \ddot x = -\frac{2k}{m}\,x + \mu g\cos\alpha. \]Гармонические колебания около \(x_{\text{равн}} = \dfrac{\mu m g\cos\alpha}{2k}\); старт из покоя при \(x = 0\) даёт амплитуду \(x_{\text{равн}}\), поэтому
\[ x_{\max} = \frac{\mu m g\cos\alpha}{k}. \]Случай 3: \(\mu \ge 3\operatorname{tg}\alpha\) — верхнее тело так и не трогается. Тогда нижнее тело — просто груз на пружине, закреплённой наверху:
\[ m\ddot x = mg\sin\alpha - kx \ \Longrightarrow\ x_{\max} = \frac{2mg\sin\alpha}{k}. \]Верхнее тело действительно устоит, если тяжесть плюс натяжение пружины не превосходят трения покоя:
\[ mg\sin\alpha + k\,x_{\max} \le \mu m g\cos\alpha \ \Longleftrightarrow\ 3\operatorname{tg}\alpha \le \mu. \]Случай 2: \(\operatorname{tg}\alpha < \mu < 3\operatorname{tg}\alpha\). Сначала верхнее тело стоит, и нижнее разгоняется по сценарию случая 3. Верхнее трогается, когда
\[ mg\sin\alpha + kx_1 = \mu mg\cos\alpha \ \Longrightarrow\ x_1 = \frac{mg(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}{k}. \]Введём обозначения \(c = \dfrac{\mu mg\cos\alpha}{k}\), \(s = \dfrac{mg\sin\alpha}{k}\); тогда \(x_1 = c - s\), а скорость нижнего тела в этот момент находится из колебаний около \(s\) с амплитудой \(s\) (отклонение от центра колебаний \(x_1 - s = c - 2s\)):
\[ \dot x_1^{\,2} = \frac{k}{m}\Bigl(s^2 - (c-2s)^2\Bigr). \]Дальше работает уравнение случая 1: колебания около \(c/2\) с \(\omega^2 = 2k/m\). Амплитуда новой стадии
\[ A^2 = \Bigl(x_1 - \frac c2\Bigr)^2 + \frac{\dot x_1^{\,2}}{\omega^2} = \frac{c^2}{4}\Bigl(1 - 2\bigl(1 - \tfrac sc\bigr)^2\Bigr), \]а поскольку \(s/c = \operatorname{tg}\alpha/\mu\), получаем
\[ x_{\max} = \frac{c}{2} + A = \frac{\mu mg\cos\alpha}{2k} \left[\,1 + \sqrt{1 - 2\Bigl(1 - \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\mu}\Bigr)^{2}}\,\right]. \]