Полная кинетическая энергия системы частиц складывается из энергии движения
центра масс и кинетической энергии движения частиц системы относительно центра
масс (внутренней кинетической энергии). Докажите это.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Разложить каждую скорость на «общую» и «внутреннюю» и честно возвести в
квадрат. Перекрёстный член исчезает — ровно потому, что суммарный импульс
относительно центра масс равен нулю.
Скорость любой частицы — сумма скорости центра масс и скорости
относительно него.
Разложение. Пусть \(\vec V\) — скорость центра масс, а
\(\vec u_i = \vec v_i - \vec V\) — скорость \(i\)-й частицы относительно него.
Ключевое свойство центра масс:
\[ \sum_i m_i \vec u_i = \sum_i m_i\vec v_i - \Bigl(\sum_i m_i\Bigr)\vec V
= M\vec V - M\vec V = \vec 0. \]
Первая сумма даёт \(MV^2/2\), вторая — нуль по доказанному выше, третья и
есть внутренняя кинетическая энергия. Итого
\[ K = \frac{MV^2}{2} + K_{\text{внутр}}. \]
Проверка. Два шарика из задачи 2.4.1: \(V\) и \(v\)
там перпендикулярны, и \(K = m(V^2+v^2)\) — ровно \(\tfrac{2mV^2}{2} +
2\cdot\tfrac{mv^2}{2}\) ✓. Отсюда же сразу видно, что \(K \ge MV^2/2\) всегда,
с равенством только при поступательном движении (задача 2.4.17) ✓.
Ответ
\( K = \dfrac{MV^2}{2} + \displaystyle\sum_i \dfrac{m_i u_i^2}{2} \);
перекрёстный член исчезает, поскольку \(\sum m_i\vec u_i = 0\).