Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) соединены недеформированной пружиной жёсткости \(k\). Затем к телам одновременно приложили противоположно направленные силы \(F\). Найдите максимальную кинетическую энергию тел и максимальную потенциальную энергию пружины. Какова наибольшая относительная скорость тел?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение для деформации. Пусть \(\delta\) — удлинение пружины. Каждое тело чувствует свою силу \(F\) наружу и силу пружины \(k\delta\) внутрь, поэтому
\[ \ddot\delta = \frac{F - k\delta}{m_1} + \frac{F - k\delta}{m_2} = \frac{F - k\delta}{\mu},\qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}. \]Это гармонические колебания около \(\delta_{\text{равн}} = F/k\). Старт из покоя при \(\delta = 0\) — значит, амплитуда тоже \(F/k\), и
\[ \delta_{\max} = \frac{2F}{k},\qquad U_{\max} = \frac{k\,\delta_{\max}^2}{2} = \frac{2F^2}{k}. \]Максимум кинетической энергии достигается в положении равновесия \(\delta = F/k\). Суммарная работа обеих сил равна \(F\delta\) (каждая совершает работу на своём перемещении, а сумма перемещений и есть удлинение):
\[ K_{\max} = F\cdot\frac{F}{k} - \frac{k}{2}\Bigl(\frac Fk\Bigr)^{2} = \frac{F^2}{k} - \frac{F^2}{2k} = \frac{F^2}{2k}. \]Относительная скорость. Центр масс покоится, поэтому вся кинетическая энергия — «внутренняя», и её удобно записать через приведённую массу:
\[ K = \frac{\mu\,v_{\text{отн}}^2}{2} = \frac{F^2}{2k} \ \Longrightarrow\ v_{\text{отн}} = F\sqrt{\frac{1}{k\mu}} = F\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k\,m_1m_2}}. \]