Внутренняя энергия системы — это потенциальная энергия взаимодействия её частиц между собой плюс кинетическая энергия движения этих частиц относительно центра масс системы (внутреннего движения). В каком случае полная энергия системы сводится к внутренней? Докажите, что приращение внутренней энергии системы равно работе внешних сил, приложенных к частицам этой системы, при их перемещении относительно центра масс.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Когда полная энергия сводится к внутренней. Полная энергия равна
\[ E = \frac{MV^2}{2} + W, \]поэтому \(E = W\) тогда и только тогда, когда центр масс покоится (\(V = 0\)). Именно поэтому «внутренняя энергия» — это энергия в системе отсчёта центра масс.
Доказательство. Запишем две теоремы. Первая — обычная теорема об энергии для всей системы: приращение полной энергии равно работе внешних сил на их настоящих перемещениях (работа внутренних сил уже учтена в потенциальной энергии взаимодействия):
\[ \Delta E = \sum_i \vec F_i^{\,\text{внеш}}\cdot\Delta\vec r_i. \]Вторая — теорема о центре масс (задача 2.4.17):
\[ \Delta\!\left(\frac{MV^2}{2}\right) = \Bigl(\sum_i \vec F_i^{\,\text{внеш}}\Bigr)\cdot\Delta\vec r_{\text{ц}} = \sum_i \vec F_i^{\,\text{внеш}}\cdot\Delta\vec r_{\text{ц}}. \]Вычитаем вторую из первой:
\[ \Delta W = \sum_i \vec F_i^{\,\text{внеш}}\cdot \bigl(\Delta\vec r_i - \Delta\vec r_{\text{ц}}\bigr), \]а \(\Delta\vec r_i - \Delta\vec r_{\text{ц}}\) — это в точности перемещение точки приложения силы относительно центра масс. Что и требовалось.