Два тела массы \(m_1\) и \(m_2\) соединены недеформированной пружиной жёсткости \(k\). К телу массы \(m_1\) приложили постоянную силу \(F\). Из-за небольшого внутреннего трения в пружине возникшие колебания затухли. На сколько возросла внутренняя энергия системы? Какова конечная энергия пружины? Если к моменту затухания колебаний тело массы \(m_2\) прошло в направлении силы \(F\) расстояние \(l\), то какова в этот момент кинетическая энергия системы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
1. Конечная деформация. В установившемся движении оба тела имеют ускорение \(a = \dfrac{F}{m_1+m_2}\), а тело \(m_2\) разгоняет только пружина:
\[ k\delta = m_2 a \quad\Longrightarrow\quad \delta = \frac{m_2 F}{k\,(m_1+m_2)}. \]2. Энергия пружины в конце:
\[ U = \frac{k\delta^2}{2} = \frac{F^2m_2^2}{2k\,(m_1+m_2)^2}. \]3. Приращение внутренней энергии. Смещение тела \(m_1\) относительно центра масс равно \(\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\) от изменения расстояния между телами, то есть \(\dfrac{m_2\,\delta}{m_1+m_2}\). Поэтому
\[ \Delta W = F\cdot\frac{m_2\delta}{m_1+m_2} = \frac{F^2m_2^2}{k\,(m_1+m_2)^2} = 2U. \]Половина ушла в пружину, половина — в тепло; на трение пришлось ровно столько же, сколько осталось в деформации.
4. Кинетическая энергия. Тело \(m_2\) прошло \(l\), а тело \(m_1\) — на \(\delta\) больше. Работа силы
\[ A = F(l + \delta), \]из неё \(\Delta W\) осело внутри (в пружине и в тепле), остальное — кинетическая энергия:
\[ K = F(l+\delta) - \Delta W = Fl + \frac{F^2m_2}{k(m_1+m_2)}\Bigl(1 - \frac{m_2}{m_1+m_2}\Bigr) = Fl + \frac{F^2m_1m_2}{k\,(m_1+m_2)^2}. \]