При медленном подъёме груза по наклонной плоскости с углом наклона
\(\alpha\) и коэффициентом трения \(\mu\) затрачена работа \(A\). Груз тянут
вдоль плоскости. Определите, какая часть работы пошла на увеличение внутренней
энергии груза и наклонной плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Подъём медленный, поэтому кинетической энергии нет: вся работа делится на
подъём (потенциальная энергия) и на трение (внутренняя энергия). Обе части
пропорциональны пути — и он сокращается.
Работа делится на два слагаемых, пропорциональных одному и тому
же пути.
Разложим работу. Пусть груз протащили вдоль плоскости на \(s\).
Тянущая сила уравновешивает скатывающую составляющую и трение:
\[ A = \bigl(mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha\bigr)\,s. \]
Что ушло в тепло. Внутреннюю энергию увеличивает только трение:
\[ \Delta W = \mu m g\cos\alpha\cdot s. \]
Отношение. Путь \(s\) и множитель \(mg\cos\alpha\) сокращаются:
Проверка. При \(\mu = 0\) в тепло не уходит ничего ✓.
При \(\alpha \to 0\) (тащим по горизонтали) отношение стремится к единице ✓ —
вся работа в тепло. При \(\alpha \to 90^\circ\) отношение стремится к нулю ✓ —
груз просто поднимают вертикально. Любопытный частный случай: при
\(\mu = \operatorname{tg}\alpha\) ровно половина работы греет, половина
поднимает ✓.
Ответ
\( \dfrac{\Delta W}{A} = \dfrac{\mu}{\operatorname{tg}\alpha + \mu} \).